收益分布与厚尾

正态假设为何失败

教科书定价与经典组合理论都以正态收益为前提，但日频金融收益的峰度普遍在 3–10 之间（正态为 3），标普 500 单日超过 5 个标准差的下跌在正态假设下应几百万年出现一次，实际几十年内就有数次。厚尾不是统计噪声，而是市场结构的真实特征：杠杆、流动性传染与信息的不连续到达。

偏度与峰度的估计

样本偏度与峰度的定义：

\hat{\gamma}_3 = \frac{\tfrac{1}{T}\sum_t (r_t - \bar r)^3}{\hat\sigma^3}, \qquad \hat{\gamma}_4 = \frac{\tfrac{1}{T}\sum_t (r_t - \bar r)^4}{\hat\sigma^4}.

关键在于这两个估计量自身的方差极大，且随样本长度收敛极慢（峰度估计的方差按 $1/T$ 收缩，但受极端值主导）。这意味着：单凭几百家公司的样本断言"该因子收益显著左偏"并不可靠。实践建议：

至少用 5 年以上的日频数据估计高阶矩；
先做 QQ 图目视诊断，再谈数值；
报告峰度时同时报告其置信区间（可用自助法，见自助法与蒙特卡洛）。

用什么分布替代正态

分布	适用	直觉
学生 t（ $\nu \approx 3$ – $6$ ）	日频收益拟合的首选	用一个自由度参数刻画尾部厚度
广义误差分布（GED）	GARCH 族的标准搭配	与 GARCH 组合时残差厚尾更好处理
混合正态	区分"平静日"与"恐慌日"	直觉清楚，但参数估计不稳定
稳定分布	理论兴趣为主	方差无穷大，与实际风险度量难衔接

拟合时用最大似然并检查 QQ 图，而不是只比较似然值。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

def tail_report(r: pd.Series) -> dict:
    r = r.dropna()
    z = (r - r.mean()) / r.std()
    return {
        "偏度": stats.skew(z),
        "超额峰度": stats.kurtosis(z),          # 正态为 0
        "t 自由度": stats.t.fit(z)[0],
        ">4σ 天数占比": float((z.abs() > 4).mean()),
    }

厚尾的直接后果

VaR 系统性低估：按正态算的 99% VaR 在厚尾下会被频繁突破，应改用期望损失 ES 或直接用历史/模拟分布，见回撤、VaR 与止损。
夏普比率高估：SR 只用均值与方差，完全不看尾部；两条 SR 相同的策略，左偏的那条实质风险更大，见夏普比率。
对数收益与简单收益的差别被放大：对数正态假设本身在厚尾下失效，复利换算与波动率换算都要重新审视。

量化中的用法

仓位约束按 ES 或最差 5% 情景设定，而非 $2\sigma$ ；
回测报告固定包含偏度、峰度、最大单日亏损三项；
蒙特卡洛压力测试用学生 t 或 bootstrap 生成路径，不用正态。

本章要点

样本峰度、偏度的估计及其自身的巨大方差
QQ 图是最直观的厚尾诊断工具
VaR 在厚尾下系统性低估，应配合 ES 使用
对数收益与简单收益在厚尾下的差别会被放大