波动率建模：GARCH 族

波动率可预测

收益本身接近不可预测，但收益的方差呈现强烈的聚集（大波动跟大波动）与均值回复——这是金融时序中少数真正可靠的可预测成分。GARCH(1,1) 用三个参数刻画它：

\sigma_t^2 = \omega + \alpha\, \varepsilon_{t-1}^2 + \beta\, \sigma_{t-1}^2,

其中 $\varepsilon_{t-1} = r_{t-1} - \mu$ 。无条件方差为 $\omega / (1 - \alpha - \beta)$ ； $\alpha + \beta$ 接近 1 表示高持续性——一次冲击的影响衰减很慢。

杠杆效应与非对称模型

负收益带来比同幅度正收益更大的后续波动（杠杆效应：下跌推高杠杆率），对称的 GARCH 刻画不了它。两个常用修正：

GJR / Threshold GARCH：加一项区分正负冲击， $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\, \varepsilon_{t-1}^2 \mathbf{1}_{[\varepsilon_{t-1}<0]} + \beta\sigma_{t-1}^2$ ， $\gamma > 0$ 即杠杆效应；
EGARCH：在对数方差上建模，天然保证方差为正，且允许冲击影响不对称。

EWMA：多数应用已足够

RiskMetrics 的指数加权移动平均只有衰减因子一个参数（日频取 $\lambda = 0.94$ ）：

\hat\sigma_t^2 = (1-\lambda)\, \varepsilon_{t-1}^2 + \lambda\, \hat\sigma_{t-1}^2.

它相当于 $\omega=0$ 的 GARCH(1,1)，不做长期均值回复，但响应快、免估计。做仓位缩放（见波动率目标化）时，EWMA 与 20–60 日简单窗口已是绝大多数场景的最优性价比。

import numpy as np

def ewma_vol(returns: np.ndarray, lam: float = 0.94) -> np.ndarray:
    """RiskMetrics EWMA 波动率，日频"""
    eps2 = returns ** 2
    var = np.zeros_like(eps2)
    var[0] = eps2[0]
    for t in range(1, len(eps2)):
        var[t] = (1 - lam) * eps2[t - 1] + lam * var[t - 1]
    return np.sqrt(var * 252)          # 年化

# 需要 GARCH/EGARCH 时用 arch 库：
# from arch import arch_model
# res = arch_model(returns * 100, vol="GARCH", p=1, q=1, dist="t").fit()
# res.forecast(horizon=1).variance

GARCH 在仓位管理中的用途

波动率目标化：用 $\hat\sigma_t$ 预测（而非历史实现）作为仓位分母，响应更快；
VaR/ES 计算：条件分布下的尾部度量比无条件分布更贴近明天，见回撤、VaR 与止损；
残差标准化：策略收益除以 GARCH 条件波动率后，再评估 t 值与夏普，排除"波动率择时"的虚假贡献。

量化中的用法

仓位缩放用 EWMA 或短窗口 GARCH 预测波动率，不用全样本波动率；
评估策略时用条件波动率标准化收益，分离"择波动率"与"择方向"；
报告 $\alpha+\beta$ 与半衰期，判断波动率持续性是否合理。

本章要点

GARCH(1,1) 的无条件方差 $\omega/(1-\alpha-\beta)$ ， $\alpha+\beta$ 接近 1 表示高持续性
杠杆效应：负收益带来更大波动，需 GJR/EGARCH 等非对称模型
简单的 EWMA（RiskMetrics）在多数应用中已足够