凸优化速览

量化里的优化问题几乎都是凸的

均值—方差（均值—方差与其失败）、最小方差、风险平价、带交易成本的再平衡——这些组合问题的目标与约束绝大多数能写成凸形式，从而全局最优、求解器成熟、结果可复现。识别一个问题是不是凸的，是工程实践的第一步。

标准形式

二次规划（QP）——均值—方差、最小方差：

$$\min_w \; \tfrac{1}{2} w^\top \Sigma w - \lambda\, \mu^\top w \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{1}^\top w = 1,\; w_{\min} \le w \le w_{\max}.$$

二阶锥规划（SOCP）——约束的是波动率或风险贡献本身：

$$\min_w \; c^\top w \quad \text{s.t.} \quad \lVert L^\top w \rVert_2 \le \sigma_{\max},\; Aw \le b.$$

带交易成本的再平衡可以写成 QP：目标里加 $\kappa^\top \lvert w - w_0 \rvert$（$L_1$ 惩罚），仍然凸，且能诱导稀疏——小的权重变化直接归零，抑制换手。

cvxpy 建模

minvar.py

import cvxpy as cp
import numpy as np

def min_variance(Sigma: np.ndarray, w_max: float = 0.10,
                 turnover: float | None = None, w0: np.ndarray | None = None) -> np.ndarray:
    N = Sigma.shape[0]
    w = cp.Variable(N)
    obj = cp.Minimize(cp.quad_form(w, cp.psd_wrap(Sigma)))
    cons = [cp.sum(w) == 1, w >= 0, w <= w_max]
    if turnover is not None and w0 is not None:
        cons.append(cp.norm1(w - w0) <= turnover)      # L1 换手约束，保持凸性
    cp.Problem(obj, cons).solve(solver=cp.CLARABEL)
    return w.value

什么会破坏凸性

常见需求	后果	处理
整数约束（最少持仓、整手股数）	破坏凸性，问题变为 NP 难	先解连续问题再取整，或用 MIP 求解器
基于截距/分位的条件约束（如"top 50 只"）	选择变量是整数	用可微近似或两阶段法
依赖优化的风险度量（如 CVaR 优化带离散情景）	情景法下仍为 LP，可用；否则需小心	用情景集合线性化
风险平价的等贡献约束	非凸（含 $w_i/\sqrt{w^\top\Sigma w}$）	用对数障碍等价形式或逐次凸近似

数值稳定性

• 先缩放数据：协方差矩阵元素在 $10^{-4}$ 量级（日频），直接喂给求解器会放大舍入误差；年化并按量级归一后再求解；
• 协方差先做 Ledoit–Wolf 收缩再喂给 quad_form，并检查其条件数；
• 对比两个求解器的解是否一致——权重差异大说明问题病态。

量化中的用法

• 所有组合层优化先写凸形式，整数需求用"连续解 + 取整 + 复检"两步走；
• 换手约束用 $L_1$（norm1）而非事后硬砍；
• 求解失败的第一反应是检查缩放与条件数，而不是换求解器。

本章要点

• 整数约束（最少持仓数、整手）破坏凸性，需启发式或 MIP
• $L_1$ 惩罚（换手约束）保持凸性且能诱导稀疏
• 求解器精度与数值稳定性：先缩放数据、再查条件数