风险模型：因子协方差

结构

多因子风险模型把股票收益分解为

r_i = \sum_{k=1}^{K} \beta_{ik} f_k + \varepsilon_i,

$\beta_{ik}$ 为股票 $i$ 对因子 $k$ 的暴露， $f_k$ 为因子收益， $\varepsilon_i$ 为特质收益。协方差矩阵由此分解：

\mathrm{Cov}(r) = B\, \Sigma_f\, B^\top + \Sigma_\varepsilon.

价值：把 $N \times N$ （几千只股票）的协方差估计问题降到 $K \times K$ （几十个因子）+ 对角特质矩阵——在 $N > T$ 时依然可逆，这是样本协方差矩阵做不到的，见均值与协方差的估计误差。

Barra 式模型的工程量集中在 $\Sigma_f$ 与 $\Sigma_\varepsilon$ 的时变估计上。

组合方差按因子分解： $\sigma_p^2 = \sum_k (w^\top B)_k^2\, \sigma_{f,k}^2 + \sum_i w_i^2 \sigma_{\varepsilon,i}^2$ ——

均值—方差中的 $\Sigma$ 用因子协方差而非样本协方差：稳定、可逆、可加约束（行业暴露中性、风格暴露限制）。这正是 Barra 式模型与优化器的接口，见凸优化速览。

商业风险模型昂贵，自建的简化版本已能解决大部分问题：

r_i = \beta_{i,\text{mkt}} f_{\text{mkt}} + \beta_{i,\text{ind}} f_{\text{ind}} + \beta_{i,\text{size}} f_{\text{size}} + \beta_{i,\text{val}} f_{\text{val}} + \varepsilon_i.

市场 + 行业 + 规模 + 波动率四个维度，通常解释组合方差的 70–80%。特征暴露可直接取自价值因子等已有计算。