均值—方差与其失败

理论与现实的落差

均值—方差优化在给定输入下是数学最优的：

\max_w \; \mu^\top w - \tfrac{\lambda}{2} w^\top \Sigma w.

但实践中的表现糟糕，根源只有一个：输入的估计误差。均值估计的误差远大于协方差（见均值与协方差的估计误差），而优化器把均值放在了输出里权重最大的位置——于是给出极端、不稳定的权重：多头集中在本期均值被高估的资产，权重月月剧变，换手成本把理论优势吃光。

修补方式

修补	思想
协方差收缩（Ledoit–Wolf）	稳定 $\Sigma$ ，治标
均值收缩 / 不用均值	最小方差、风险平价，绕开 $\mu$
Black–Litterman	以市场组合为先验，把"观点"做贝叶斯更新
约束与正则化	权重上下限、 $L_1$ 换手惩罚、 $L_2$ 权重惩罚
交易成本入目标	换手本身变成惩罚项，见凸优化速览

其中最有效的是最朴素的两个：约束与换手约束。

import cvxpy as cp
import numpy as np

def mv_portfolio(mu: np.ndarray, Sigma: np.ndarray, w0: np.ndarray,
                 lam: float = 5.0, w_max: float = 0.15, tc: float = 0.002) -> np.ndarray:
    """带换手成本与权重上限的均值—方差：约束是稳定的来源"""
    w = cp.Variable(len(mu))
    trade = w - w0
    obj = cp.Maximize(mu @ w - lam * cp.quad_form(w, cp.psd_wrap(Sigma))
                      - tc * cp.norm1(trade))            # L1 换手惩罚
    cons = [cp.sum(w) == 1, w >= 0, w <= w_max]
    cp.Problem(obj, cons).solve(solver=cp.CLARABEL)
    return w.value

Black–Litterman 的直觉

直接估均值不可靠，Black–Litterman 换了个思路：

先验：市场组合权重反推的隐含均衡收益（市场已把所有公开信息定价）；
更新：研究者的观点（"A 跑赢 B 2%"）按置信度与均衡做贝叶斯融合。

结果：观点置信度低时权重靠近市场组合，置信度高时才偏离——输出对输入的敏感度被先验驯服。它没有解决估计误差，而是给了误差一个安全的默认值。

等权基准

DeMiguel–Garlappi–Uppal (2009) 的著名发现：在多种数据集上，简单等权（1/N）的样本外夏普难以被复杂优化显著战胜。含义很残酷：均值—方差的理论优势，在估计误差与换手成本之后所剩无几。任何复杂组合构建方法，都必须先过等权这一关。

量化中的用法

默认带权重上限与 $L_1$ 换手约束，优化器输出与上期持仓做比较；
均值输入用 Black–Litterman 或收缩，不用原始样本均值；
等权作为永久基准，季度对比。

本章要点

优化器是"误差放大器"：均值估计误差被放大成极端权重
加入换手约束能显著稳定权重
Black–Litterman 以市场组合为先验，观点为更新