Kelly 准则与仓位大小

公式

连续时间下，Kelly 准则给出使几何增长率最大的杠杆：

f^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2},

$\mu$ 为算术年化收益， $\sigma^2$ 为方差。对应的最大增长率为 $g^* = r_f + \dfrac{(\mu - r_f)^2}{2\sigma^2} = r_f + \dfrac{\mathrm{SR}^2}{2}$ ——增长率只由夏普比率的平方决定，与收益绝对水平无关。这解释了为什么量化把 SR 而非收益奉为核心指标，见夏普比率。

离散版本（胜率 $p$ 、赔率 $b$ ）： $f^* = \dfrac{p(b+1) - 1}{b}$ 。

完整 Kelly 的问题：回撤不可承受

Kelly 最优在数学上完美，在心理上不可用：

完整 Kelly 的最大回撤分布意味着任意时点有约 1/3 的概率已从峰值回撤 50% 以上；
增长率对 $f$ 是平坦的极大值： $f^* / 2$ 只损失 25% 的增长率，但回撤减半——半 Kelly 是行业标准；
参数是估计出来的： $\mu$ 的估计误差远大于 $\sigma$ （见均值与协方差的估计误差），而 $f^*$ 对 $\mu$ 线性敏感。用高估的 $\mu$ 算出的 Kelly 是过度下注——增长率下降、回撤无限放大，比下注不足糟糕得多。

参数不确定时：比 Kelly 更小

结论链：完整 Kelly → 半 Kelly（回撤可承受）→ 估计误差下进一步打折。三重折扣的理由：

$\mu$ 被高估的概率大于 50%（数据挖掘偏差使然，见多重检验与 Deflated Sharpe Ratio）；
过度下注的不对称性：下注不足损失少量增长率，过度下注可能破产（几何增长率在 $f > 2f^*$ 后为负）；
实践中的多策略组合：每个策略按自己的 Kelly 下注，总杠杆仍有上限。

import numpy as np

def kelly_fraction(returns: np.ndarray, kelly_fraction: float = 0.5,
                   mu_discount: float = 0.5) -> float:
    """returns: 日收益。默认半 Kelly + 均值打五折（估计误差折扣）"""
    mu = returns.mean() * 252 * mu_discount      # 年化，均值打折
    var = returns.var() * 252
    f_star = mu / var
    return float(np.clip(kelly_fraction * f_star, 0, 5.0))   # 杠杆上限

Kelly 的正确位置

单策略仓位：Kelly 给出策略层面的下注比例上界；
跨策略分配：多策略时用组合层面的 Kelly（对组合的 $\mu, \sigma$ ），而非各策略独立 Kelly 之和；
与波动率目标化的关系： $\sigma_{\text{target}} = |f^*|\,\sigma$ 即 Kelly 的波动率表述，见波动率目标化——两者是同一件事的两种语言。

量化中的用法

半 Kelly + 均值折扣为默认；杠杆上限写死在配置里；
增长率目标用 $g = r_f + \mathrm{SR}^2/2$ 换算，检验策略的 SR 是否撑得起期望；
跨策略分配用组合层 Kelly，不叠加各策略独立 Kelly。

本章要点

半 Kelly 损失 25% 增长率，但回撤大幅减小
参数不确定时最优仓位比 Kelly 更小：过度下注的不对称惩罚
Kelly 与夏普的关系： $g = r_f + \mathrm{SR}^2/2$