OU 过程与半衰期

本页在侧边栏中位于协整之后，见协整与价差构造。

模型

Ornstein–Uhlenbeck 过程是价差的标准模型：

dx_t = \theta\,(\mu - x_t)\,dt + \sigma\, dW_t,

$x_t$ 为（对数）价差， $\mu$ 为均衡水平， $\theta$ 为回归速度， $\sigma$ 为扩散。离散化后与 AR(1) 等价： $\Delta x_t = \theta(\mu - x_{t-1})\Delta t + \varepsilon_t$ ，可直接用 OLS 估计。

半衰期：最重要的单一参数

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\theta}.

偏离均衡回归一半所需的时间，直接决定一切：

半衰期	含义
数天	日频可交易，容量小、成本敏感
数周	经典配对交易的区间
长于一个月	资金占用过久、事件风险累积，通常不值得做
接近零	估计的是微观结构噪声，非真实回归

参数估计

import numpy as np

def ou_params(spread: np.ndarray, dt: float = 1/252) -> dict:
    """用 AR(1) 离散化估计 OU 参数；spread: 对数价差"""
    x, dx = spread[:-1], np.diff(spread)
    b0, b1 = np.polyfit(x, dx, 1)          # Δx = b0 + b1·x
    theta = -b1 / dt
    mu = b0 / (-b1)
    resid = dx - (b0 + b1 * x)
    sigma = resid.std() / np.sqrt(dt)
    return {"theta": theta, "mu": mu, "sigma": sigma,
            "half_life_years": np.log(2) / theta,
            "half_life_days": np.log(2) / theta * 252}

最优进出场阈值

不要固定用 $2\sigma$ 。入场阈值应在两个方向上权衡：

阈值越远，单笔期望利润越大，但交易频率越低；
阈值越近，交易越多，成本占比越高。

Bertram (2010) 在 OU 假设下解析求解了最大化单位时间期望收益的阈值：入场阈值 $b^*$ 与 $\theta, \sigma, \mu$ 及成本 $c$ 有关——半衰期越长、成本越高，最优阈值越远。实践中以解析解为起点，再用蒙特卡洛（含成本）校验，见自助法与蒙特卡洛。

参数漂移与监控

OU 参数会随时间漂移： $\theta$ 变小（回归变慢）或 $\mu$ 漂移（均衡移动）都意味着配对关系在退化。监控：

滚动窗口（如 60 日）重估参数，半衰期超过上限即踢出池；
$\mu$ 的漂移速度本身是配对质量的一部分，见协整与价差构造。

量化中的用法

半衰期长于一个月的价差不入池；
阈值由 OU 参数与成本共同决定，滚动更新；
时间止损： $3 \sim 5$ 倍半衰期未回归即离场。

本章要点

半衰期长于一个月的价差通常不值得做
入场阈值应随波动率与成本调整，而非固定 2σ
OU 假设下可解析求解最优阈值（Bertram 2010）