协整与价差构造

定义与含义

两个非平稳的价格序列 $p^A_t, p^B_t$ ，若存在系数 $\beta$ 使线性组合

s_t = p^A_t - \beta\, p^B_t

平稳（见平稳性与单位根），则称两者协整。含义：两者各自漂移，但被一个长期均衡关系拴住—— $s_t$ 的偏离会回归。配对交易交易的不是收益，而是对均衡的偏离。

Engle–Granger 两步法

对 $p^A, p^B$ 做 OLS 回归，得 $\hat\beta$ ；
对残差 $\hat s_t$ 做 ADF 检验——拒绝单位根即协整。

简单直观，但有对称性问题：以 A 回归 B 与以 B 回归 A 得到的 $\hat\beta$ 不同，检验结论也可能不同。且只适用于两个序列。

Johansen 检验

基于 VAR 的系统方法，直接检验协整关系的个数（秩），适用于三个及以上的资产池：先定秩，再估计协整向量。多资产配对（一个空头对多个多头）用 Johansen，两两配对用 Engle–Granger 足够。

对冲比率的估计

方法	特点
OLS	简单；截面上 $\beta$ 随样本窗口漂移
总体最小二乘（TLS）	把价格的"测量误差"计入，更稳健
卡尔曼滤波	把 $\beta$ 当作随时间漂移的状态，在线更新

协整关系不是常量： $\beta$ 随时间漂移意味着固定对冲比率会逐渐失配。卡尔曼滤波把比率更新变成管道的一部分：

import numpy as np

def kalman_beta(pa: np.ndarray, pb: np.ndarray, q: float = 1e-5, r: float = 1e-2):
    """β 随时间漂移的卡尔曼滤波；q: 状态噪声，r: 观测噪声"""
    beta, P = np.zeros(len(pb)), 1.0
    betas = np.zeros(len(pb))
    for t, x in enumerate(pb):
        # 预测
        P = P + q
        # 更新（观测模型 pa ≈ β·pb）
        K = P * x / (x**2 * P + r)
        beta = beta + K * (pa[t] - beta * x)
        P = P * (1 - K * x)
        betas[t] = beta
    return betas

样本外断裂：最常见的死法

协整关系在样本外经常失效——公司层面事件（重组、行业逻辑变化）会永久打破均衡。处理：

入池时优先有经济逻辑的关系（同行业、同供应链、控股关系），纯统计显著的配对不要；
持仓期间滚动复检协整（ADF + 系数漂移），断裂即退出，不等价差"回归"；
单笔价差交易设时间止损：半衰期数倍的时间未回归，认亏离场，见OU 过程与半衰期。

量化中的用法

两两配对用 Engle–Granger，多资产用 Johansen；
对冲比率用卡尔曼滤波在线更新，不做固定比率；
入池标准：经济逻辑 + 滚动协整检验 + 时间止损三件套。

本章要点

协整关系在样本外经常失效，需持续监控
对冲比率随时间漂移，卡尔曼滤波可在线更新
经济逻辑（同行业、同供应链）比统计显著更重要