波动率曲面

曲面：同一坐标下的所有期权

不同行权价 $K$ 与到期日 $T$ 的隐含波动率构成曲面 $\sigma_{\text{impl}}(K, T)$ 。如果 BS 假设成立，曲面应是平坦的——真实的曲面从不平坦，其形状本身就是信息：市场对尾部、事件与未来波动结构的价格。

微笑与偏斜

微笑（smile）：虚值两侧隐含波动率高于平值——市场给尾部概率的额外定价；
偏斜（skew）：微笑的不对称。股指期权的负偏斜（低行权价端波动率更高）反映市场对暴跌的系统性担忧——买看跌保护的需求推高了低行权价的隐含波动率；
资产类别的差异：股指负偏斜（崩盘恐惧），商品（原油、黄金）常呈正偏斜（供给冲击推高价格），外汇依货币对而异。

经验规律中最重要的一条：1987 年股灾之后，股指期权才出现持续的负偏斜——那之前曲面几乎平坦。偏斜是市场"学会了害怕"的痕迹。

期限结构

固定行权价，隐含波动率随到期日的变化：

正常形态：短期低、长期高（均值回复的波动率预期）；
事件隆起：财报、议息、选举前，对应期限的隐含波动率隆起——市场把已知事件的时间与规模都写进了曲面；
危机中短期隐含波动率飙升，期限结构倒挂。

事件隆起是可交易的：财报前买跨式、财报后卖——但盈亏要看隆起幅度是否已超过事件的实际波动，见方差风险溢价。

参数化：SVI

实操中曲面用参数化模型表示，Gatheral 的 SVI（Stochastic Volatility Inspired）是行业标准：

w(k) = a + b\left[\rho(k - m) + \sqrt{(k-m)^2 + \sigma^2}\right], \qquad w = \sigma_{\text{impl}}^2 T,

$k = \ln(K / F)$ 为对数行权价。五个参数刻画一条 smile，再加期限结构就是一个可插值、可校准的曲面。使用要点：

曲面必须满足无套利约束（蝴蝶套利、日历套利），拟合前先检查；
拟合用加权最小二乘，权重按流动性（平值附近、近月期权）加权。

import numpy as np

def svi_total_variance(k: np.ndarray, a: float, b: float,
                       rho: float, m: float, sig: float) -> np.ndarray:
    """SVI 总方差 w(k) = σ²_impl·T；k 为对数行权价"""
    return a + b * (rho * (k - m) + np.sqrt((k - m) ** 2 + sig ** 2))

量化中的用法

曲面参数化用 SVI，拟合前检查无套利约束；
事件（财报、议息）从期限结构的隆起中读取，事件策略的盈亏对照实际波动；
偏斜的极端水平本身是风险指标：负偏斜加深常先于市场压力。

本章要点

1987 年后股指期权才出现持续的负偏斜
期限结构在事件（财报、议息）前隆起
无套利约束限制了曲面的形状，拟合前必须检查