希腊字母与风险

四个字母

希腊字母	定义	含义
$\Delta$	$\partial V / \partial S$	对标的价格的一阶敏感度
$\Gamma$	$\partial^2 V / \partial S^2$	Delta 的变化速度（凸性）
$\mathrm{Vega}$	$\partial V / \partial \sigma$	对波动率的敏感度
$\Theta$	$\partial V / \partial t$	时间衰减

Gamma 与 Theta：同一风险的两面

平值、临近期权的期权 $\Gamma$ 最大， $\Theta$ 也最大——这不是巧合，是同一枚硬币：

买期权 = 买 Gamma + 付 Theta：标的大动就赚（凸性兑现），不动就每天衰减；
卖期权 = 卖 Gamma + 收 Theta：每天赚时间价值，标的大动就亏。

波动率卖方的收益分布因此左偏：平稳期持续小赚（收 Theta），尾部大亏（空 Gamma 被打）。这与方差风险溢价的实证一致：卖出期权的正期望收益，正是对承担这种左偏的补偿。风险管理上它们不可分割：对冲 Gamma 的成本就是 Theta，"免费的 Gamma"不存在。

Vega 与期限：Gamma 工具 vs Vega 工具

短期期权的 Gamma 大、Vega 小——短期期权是 Gamma 工具（赌方向与跳跃）；
长期期权的 Vega 大、Gamma 小——长期期权是 Vega 工具（赌波动率水平）。

组合层面的含义：用短期期权表达"事件与跳跃"的观点，用长期期权表达"波动率水平"的观点，两者是不同的风险。Vega 随到期时间增长： $\mathrm{Vega} \propto S\sqrt{T}\,\varphi(d_1)$ 。

组合视角

单个期权的希腊字母是导数，组合的希腊字母是风险管理的对象：

\Delta_p = \sum_i w_i \Delta_i, \qquad \Gamma_p = \sum_i w_i \Gamma_i, \qquad \mathrm{Vega}_p = \sum_i w_i \mathrm{Vega}_i.

组合管理的常规动作：

Delta 中性化（对冲方向），保留 Gamma/Vega 敞口；
监控 Gamma 与 Vega 的期限分布：哪里聚集、什么时候集中到期；
压力测试按"标的大幅跳动 + 波动率跳升"双因子做，只看 Delta 是不够的。

from scipy.stats import norm
import numpy as np

def bs_greeks(S, K, T, r, sigma):
    """欧式期权的 Delta/Gamma/Vega/Theta"""
    d1 = (np.log(S / K) + (r + sigma**2 / 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    pdf_d1 = norm.pdf(d1)
    return {
        "delta": norm.cdf(d1),
        "gamma": pdf_d1 / (S * sigma * np.sqrt(T)),
        "vega": S * pdf_d1 * np.sqrt(T) / 100,          # 每 1% 波动率
        "theta": (-S * pdf_d1 * sigma / (2 * np.sqrt(T))
                  - r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)) / 365,
    }

量化中的用法

组合报告固定输出 Delta/Gamma/Vega/Theta 四项及其期限分布；
对冲频率按 Gamma 决定：Gamma 集中时加密对冲；
空波动率策略的仓位按左偏分布的尾部设定，不按日常波动。

本章要点

Gamma 与 Theta 同号相反，是同一风险的两面
Vega 随到期时间增长：短期期权是 Gamma 工具，长期是 Vega 工具
空 Gamma 策略的收益分布左偏