收益率的定义

简单收益与对数收益

给定价格序列 $P_t$，简单收益率定义为

$$r_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}},$$

对数收益率定义为

$$\ell_t = \ln \frac{P_t}{P_{t-1}} = \ln(1 + r_t).$$

两者在 $|r_t|$ 很小时近似相等。对数收益在时间上可加：$\ell_{t_1 \to t_n} = \sum_{t} \ell_t$；简单收益在截面上可加：组合收益是成分简单收益的加权和。因此时间序列分析用对数收益，组合归因用简单收益。

年化

若一年有 $N$ 个观测期（日频取 252），平均对数收益的年化为 $N \bar{\ell}$；波动率年化为 $\sqrt{N}\,\sigma$。

代码示例

returns.py

import numpy as np
import pandas as pd

def to_returns(prices: pd.Series, log: bool = False) -> pd.Series:
    if log:
        return np.log(prices).diff().dropna()
    return prices.pct_change().dropna()

注意

本节的记号在全书通用：$r$ 表示简单收益，$\ell$ 表示对数收益。